تذكر أنه لإيجاد نهاية دالة عند نقطة بالتعويض المباشر أولا 0 و إذا كان الناتج صفر ÷ صفر نتبع الأتي
1) التحليل : في حالة إمكانية تح
ليل البسط و المقام ثم حذف العامل الصفري ثم التعويض مرة أخري
2) أن لم نستطيع التحليل نقسم البسط و المقام أو أحدهما علي العامل الصفري ( قسمة مطولة)
3) نهــــا = × ( أ )ن – م و قبل أن نطبق هذه النظرية لابد من التأكد من الشروط
و هي ( معاملات س ، العدد ، الأسس ، الإشارة )
4)إذا وجد في الدالة جذر تربيعي نضرب البسط و المقام في المرافق ثم الاختصار ثم الحذف و التعويض
5) بعض النهايات تقسم إلي نهايتين ( في حالة الضرب أو الجمع )
6) نهـــــــا = 1 ، نهـــــــا = 1 * تذكر أن : جتـــا صفر = 1
ـ إذا كانت الدالة معرفة علي قاعدتين
تكون للدالة د نهاية عندما س أ إذا كان د( أ )+ = د ( أ ) ــ = ل .. النهاية اليمني = النهاية اليسري
الإتصال :ـ يقال أن الدالة متصلة عند س = أ إذا كان
ـ د( أ ) لها وجود ـ د( س) لها نهاية عند س أ ـ د( أ ) = نها د( س) عندما س أ
الإتصال علي فترة 0
ـ إذا كانت الدالة د معرفة علي فترة ] أ ، ب [ فإن د تكون متصلة عليها إذا كانت معرفة علي كل نقطة تنتمي لها
ـ تكون الدالة متصلة علي [ أ ، ب ] إذا كانت الدالة
ـ متصلة علي الفترة المفتوحة ] أ ، ب [ ـ متصلة من اليمين عند أ ـ متصلة من اليسار عند ب
ملاحظات :ـ
1ـ دوال كثيرات الحدود متصلة علي ح 2ـ الدوال الكسرية متصلة علي ح - { أصفار المقام }
3ـ دالتي الجيب و جيب التمام متصلتان علي ح
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
قابلية الإشتقاق :ـ
ـ يقال أن الدالة د قابلة للإشتقاق عند س = أ حيث أ المجال إذا كان
د/ ( أ ) لها وجود أي أن نهـــــــــــــا لــــــهــــــــــــا وجــــــــــود ...
ـ إذا كانت الدالة معرفة علي قاعدتين فإن الدالة تكون قابلة للإشتقاق عند س = أ إذا كان
ـ الدالة متصلة عند س = أ
ـ د/( أ )+ = د/ ( أ )ـــ أي أن نهــــــــا = نهــــــــــــا
قواعد الإشتقاق :ـ
1ـ مشتقة حاصل ضرب دالتين = م الأولي × الثانية + م الثانية × الأولي ..
2) مشتقة خارج قسمة دالتين =( م البسط × المقام – م المقام × البسط ) ÷ مربع المقام
3) ص = جاس ص/ = جتاس ، ص = جتاس ص/ = - جاس ، ص= ظاس ص/= قا2 س
4) إذا كانت ص = د(ع) ، ع = د(س) فإن = ×
5) ص = [ د(س)]ن ص/ = ن [د(س)]ن- 1 × د/ (س) : م القوس × م ما بداخل القوس
6) مشتقة الثابت = صفر
7) إذا كانت ص دالة قابلة للإشتقاق بالنسبة إلي س فإن = ن ص ن- 1 × ( الدالة الضمنية )
ـ تطبيقات علي المشتقات :ـ
ـ التطبيق الهندسي .
1) ميل المماس للمنحني = ظل الزاوية التي يصنعها المماس مع الاتجاه الموجب لمحور س = المشتقة الأولي
2) قياس الزاوية = ( الميل shift tan ( و إذا كان الميل سالب تكون الزاوية منفرجة
3) لإيجاد النقط 0 نكون المعادلات بحيث : إذا كان المماس // محور س تكون ص/ = 0
4) إذا كان المماس // مستقيم فإن م المماس = م المستقيم
4) إذا كان المماس عمودي علي مستقيم نحسب ميل المماس و(- ) المعكوس الضربي لـ م المستقيم
5) إذا علم الميل تكون المشتقة = الميل ، و إذا علمت الزاوية تكون المشتقة = ظا هـ
6) إذا كان المماس يوازي محور ص يكون مقام المشتقة = صفر
7) عند التقاطع مع محور س نضع ص = صفر ،، عند التقاطع مع محور ص نضع س = صفر
معادلة المماس : ص- ص1 = م ( س - س1 )
ـ معادلة العمودي : ص- ص1 = -1/ م ( س - س1 ) حيث م الميل، ( س1 ، ص1 ) النقطةالطلوب عندها المعادلة
9) ميل الخط المستقيم : أ س + ب ص = جـ هو - أ / ب أو - معامل س / معامل ص [ س ، ص في طرف واحد ]
أو ميل المستقيم = فرق الصادات / فرق السينات [ في حالة معرفة نقطتين عليه ]
10) إذا كان المستقيمان متوازيان فإن مـ 1 = مـ 2 ــ إذا كان المستقيمان متعامدان فإن مـ1 × مـ 2 = - 1
11) منحنيان متماسان يعني أن : لهما نقطة تقاطع ، مـ 1 = مـ 2 عند نقطة التقاطع
12) منحنيان متعامدان يعني أن : لهما نقطة تقاطع ، مـ 1 × مـ 2 = -1 عند نقطة التقاطع ...
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ـ المعدلات الزمنية المرتبطة :ـ
خطوات الحل: 1ـ نفرض رموز جبرية للمتغيرات 2ـ تكوين العلاقة الجبرية التي تربط المتغيرات 3ـ التفاضل للزمن
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
سلوك الدالة :ـ
1ـ لمعرفة فترات التزايد و التناقص نبحث إشارة د/ ( س ) بحيث إذا كانت
ــ د/(س) > صفر تكون الدالة متزايدة ــ و إذا كانت د/ (س) < صفر تكون الدالة متناقصة
2ـ لمعرفة نقط القيم العظمي و الصغري المحلية للدالة هناك طريقتان
أ ـ عن طريق فترات التزايد و التناقص من رسم الشكل التوضيحي كما هو مبين
ب ـ عن طريق المشتقة الثانية للدالة : بحيث إذا كان
د// ( جـ ) < 0 تكون عند جـ قيمة ع م أما إذا كان د// (د ) > 0 تكون عند د قيمة ص م
3ـ النقط الحرجة للدالة هي النقط التي تكون عندها د/ (س) = صفر أو د/ (س) ليس لها وجود ..
4ـ القيم العظمي و الصغري المطلقة للدالة في فترة [ أ ، ب ]
نحسب قيم س التي تجعل د/(س) = 0 و لتكن س1 ، س2 ، س3 ، ..... و النقط الحرجة للدالة .....
ثم نحسب قيم د(س1) ، د(س2 ) ، ......... د( أ ) ، د( ب )
فتكون أكبر قيمة هي القيمة العظمي المطلقة و أصغر قيمة هي القيمة الصغري المطلقة ..
5ـ اختبار التحدب لأعلي و لأسفل و نقط الإنقلاب :
عن طريق د// (س) : بحيث إذا كانت د//(س) < يكون المنحني محدب لأعلي
ـ و إذا كانت د// (س) > يكون المنحني محدب لأسفل
ـ نقـــــــــط الإنقـــــــلاب تفصــــــــل بين مناطــــــــــق التحــــــــــدب ...
ملاحظات هامة جداً :ـ
1ـ عند النقط الحرجة د/(س) = 0 ـ النقط الحرجة قد تكون قيمة عظمي أو صغري محلية ( هذا هو نوعها )
2ـ عند القيم العظمي و الصغري المحلية يكون د/(س) = 0
3ـ عند نقط الإنقلاب تكون د// ( س) = صفر
4ـ إذا كانت د// ( س ) > 0 علي يمين أ ، د// ( س ) < 0 علي يسار أ تكون عند أ نقطة إنقلاب
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
خطوات حل مسائل تطبيقات القيم العظمي و الصغري المحلية :ـ
1ـ نبدأ بتحديد المطلوب نجعله متغير تابع بعد فرض متغير مستقل
( مثل المساحة ، الحجم ، أكبر مجموع ، الأبعاد ، البعد ، ....) كلها متغيرات مستقلة
2ـ نكون العلاقة و يجب أن تكون في متغيرين فقط .. (مستقل و تابع) ثم نفاضل الطرفين بالنسبة للمتغير التابع
3ـ نجعل ص/ = صفر للحصول علي النقط الحرجة ثم بعد ذلك نجري أحد إختبارات القيم العظمي و الصغري .......
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
قوانين التكامل :ـ
الدالة تكاملها الدالة تكاملها
أ أس + ث أ سن أ سن+1 / ن+1 + ث
( أ س + ب) ن (أ س + ب )ن+1 / ( أ × ن+1) +ث حاأس - جتاأس / أ + ث
جتاأس جاأس / أ + ث قا2 أ س ظا أ س / أ + ث
ملاحظات هامة جداً ..
1ـ لا يوجد تكامل حاصل ضرب أو خارج قسمة دالتين ولا يوجد تكامل ظتا س أو قتا س أو قا س ......
2ـ د/(س) يسمي المعامل التفاضلي أو ميل المماس لكن د// (س) يسمي معدل تغير ميل المماس ..
قوانين هامة جداً لإجراء تكامل الدوال المثلثية..
1ـ جتا2س + جا2س= 1 جتا2 س = 1- جا2 س أ، جا2س= 1- جتا2س ( في حالة بسط و مقام )
2ـ جاس جتاس = (1/2) جا2س 3ـ جتا2س = 1/2 + 1/2 جتا2س 4ـ حا2س= 1/2 - 1/2 جتا2س
5ـ ظا2س = قا2س -1 6ـ جتا2س- جا2 س = جتا 2س ..
بعض القوانين الهامة ..
1ـ مساحة المربع = ل2 ، محيطه = 4ل 2ـ مساحة المستطيل = س ص ، محيطه = 2س+2ص
3ـ مساحة الدائرة = ط نق2 ، محيطها = 2 ط نق 4ـ حجم الكرة = 4/3 ط نق3 ، مساحتها = 4ط نق2
5ـ حجم المكعب = ل3 ، مساحته الكلية = 6ل2 ، مساحته الجانبية = 4ل2 ، مساحة الوجه الواحد = ل2
6ـ حجم الإسطوانة = ط نق2 ع ، مساحتها الجانبية = 2 ط نق ع ، المساحة الكلية = 2ط نق2 + 2 ط نق ع
7ـ حجم متوازي المستطيلات = س ص ع ، مساحته الكلية = 2( س ص + ص ع + س ع )
ـ إذا كان متوازي المستطيلات بدون غطاء تكون مساحته = س ص + 2 س ع + 2 ص ع قاعدة واحدة فقط
ـ مجموع أبعاد متوازي المستطيلات الثلاثة = س + ص + ع
ـ مجموع أطوال جميع أحرفه = 4س + 4 ص + 4 ع
8ـ مساحة المثلث = 1/2 حاصل ضرب القاعدة × الإرتفاع = 1/2 حاصل ضرب أي ضلعين × جيب الزاوية بينهما
9ـ البعد بين نقطتين ل = مربع فرق السينات + مربع فرق الصادات ...
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
* * مع أرق الأمنيات للجميع بالتفوق* *