حساب مثلثات أول ثانوي ( ترم أول )
المثلث :ـ هو عبارة عن أصغر مضلع مكون من ثلاثة قطع مستقيمة تسمي كل واحدة منهما ( ضلع ) ويوجد فيه ثلاث زوايا
تعريف الزاوية :ـ هي عبارة عن اتحاد
شعاعان لهم نفس نقطة البداية وتكتب
الزاوية بالرأس أو بثلاث حروف مثلا
< أ ب جـ أو < جـ ب أ أو < ب
وهذا الزاوية لا يوجد فارق بين بدايتها ولا نهايتها
أو إذا لزم تحديد البداية والنهاية فأن الناتج يسمي ( زاوية موجهة )
تعريف الزاوية الموجهة :ـ
هي الزاوية التي يكون لها بداية ( شعاع ابتدائي ) ولها
نهاية ( شعاع نهائي ) ويكون لها اتجاه وتكتب علي
صورة زوج مرتب ( الشعاع الابتدائي ، الشعاع النهائي)
مثلا ( ب أ ، ب جــ ) وتكتب < أ ب جـ ويكون قياسها موجب لان اتجاهها ضد عقارب الساعة
أم إذا كان اتجاهها مع عقارب الساعة
فان قياسها يكون سالب مثلا الشكل المقابل
وتكتب ( ب جـ ، ب أ ) وتكتب < جـ ب أ
ملحوظة هامة
< جـ ب أ < أ ب جـ
معلومة هامة :ـ قياس الدائرة = 360 ْ
الوضع القياسي للزاوية الموجهة :ـ
تكون الزاوية في الوضع القياسي لها إذا كان
قياسها محصور بين صفر ْ و 360 ْ وهو الوضع الذي
ينطبق فيه الضلع الابتدائي علي محور السينات والضلع
النهائي داخل الشبكة البيانية المتعامدة ( مثل الشكل المقابل )
ملحوظة هامة :ـ
لأي زاوية لها قيا سان أحداهما موجب و الأخر سالب مثلا الزاوية التي
قياسها 60 ْ تكافئ الزاوية التي قياسها ـــ 300 ْ حيث ينطبق الضلع الابتدائي لهم وكذلك الضلع النهائي لهم ولكن الاتجاه هو الذي يكون مختلف الأولي تكون ضد عقارب الساعة و الثانية تكون مع عقارب الساعة
* لإيجاد الوضع القياسي لأي زاوية فيجب إتباع الأتي
1) إذا كان قياس الزاوية أكبر من 360 ْ فيجب طرح منها 360 ْ حتى نصل لأول رقم أقل من 360 ْ ويكون ذلك هو الوضع القياسي لها
مثلا أوجد الوضع القياسي للزوايا التي قياسها 900 ْ ، 790 ْ ، 1200 ْ ، 630 ْ
الحل
900 ْ ـــ 360 ْ = 540 ْ ـــ 360 ْ = 180 ْ
790 ْ ـــ 360 ْ = 430 ْ ـــ 360 ْ = 70 ْ
1200 ْ ــ 360 ْ = 840 ْ ـــ 360 ْ = 480 ْ ـــ 360 ْ = 120 ْ
630 ْ ـــ 360 ْ = 270
2) إذا كان قياس الزاوية عدد سالب فيجب جمع عليها 360 ْ حتى نصل لأول رقم موجب ويكون ذلك هو الوضع القياسي لها
فمثلا أوجد الوضع القياسي للزوايا التي قياسها ـــ 200 ْ ، ـــ 530 ْ ، ـــ 840 ْ
الحل
ـــ 200 ْ + 360 ْ= 160 ْ
ـــ 530 ْ + 360 ْ = ــ 170 ْ + 360 ْ = 190 ْ
ـــ 840 ْ + 360 ْ = ـــ 480 ْ + 360 ْ = ــ 120 ْ + 360 ْ = 240 ْ
ملحوظة هامة :ـ
1) تم جمع أو طرح 360 ْ علي قياس الزاوية لان قياس الدائرة = 360 ْ وهو الوضع الذي يعود فيه الضلع النهائي إلي الوضع الأول قبل الحركة
2) الزوايا التي يكون القياس لها في وضعها القياسي موحد يسمي ( زوايا متكافئة )
3) المحاور المتعامدة تقسم المستوي إلي أربع أجزاء كل جزء يسمي ( ربع )
في الشكل المقابل :ـ
الربع الأول محصور بين 0 ْ ألي 90 ْ
الربع الثاني محصور بين 90 ْ ألي 180 ْ
الربع الثالث محصور بين 180 ْ ألي 270 ْ
الربع الرابع محصور بين 270 ْ ألي 360 ْ
4) الزوايا التي قياسها يساوي صفر ْ أو 90 ْ أو 270 ْ أو 360 ْ تقع علي المحاور وليس أي ربع
أنواع قياسات الزوايا :ـ
1) قياس ستيني :ـ
وهو القياس المعتاد للزوايا ووحداته هي ( الدرجة ْ ، الدقيقة ، الثانية )
الدرجة = 60 دقيقة الدقيقة = 60 ثانية
فمثلا الزاوية التي قياسها 35 42 68 ْ تقرا 68 درجة و 42 دقيقة و 35 ثانية
وتكتب علي الآلة كالأتي : ـ
68 ,,, 42 ,,, 35 ,,, = 68 42 35
2) القياس الدائري :ـ هي الزاوية المرسوم داخل دائرة وتكون زاوية مركزيه ولذلك فأن أضلاعها تكون أنصاف أقطار ويكون محصور بينهما قوس من الدائرة وتسمي زاوية نصف قطرية
الزاوية النصف قطرية :ـ
هي الزاوية المركزية التي يكون فيها م
طول القوس المقابل لها مساوياً لطول
نصف قطر دائرتها
قياسها = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـــ = ــــــــــ حيث هـ هو قياس الزاوية ، ل هو طول القوس، نق نصف الدائرة
مثال :ـ أوجد قياس الزاوية الدائرية المقابلة لقوس طوله 8 سم ونصف قطرها 5 سم
الحل
هـــ = ــــــــــ هـــ = ــــــــ = 1.6
مثال :ـ أوجد طول القوس المقابل لزاوية مركزية 2.1 في دائرة نصف قطرها 4 سم
الحل
ل = هــ × نق = 2.1 × 4 = 8.4 سم
مثال :ــ أوجد نصف قطر الدائرة إذا كان قياس زاوية مركزية فيها = 1.5 د مقابل لقوس طوله 6 سم
الحل
نق = ــــــــ = ـــــــــ = 4 سم
تمرينات
1) أذكر الربع التي تقع فيه الزوايا التي قياسها
225 ْ ، 1500 ْ ، 1350 ْ ، 590 ْ ، ـــ 30 ْ ، ـــ 420 ْ ، ـــ 815 ْ ، ـــ 1110 ْ
2) أوجد زاوية تكافئ قياسات الزوايا الأتي :ـ
65 ْ ، 175 ْ ، 210 ْ ، 500 ْ ، ــ 100 ْ ، ـــ 630 ْ ، ـــ 740 ْ ، ـــ 45 ْ
3) أوجد القياس الدائري للزاوية إذا كان
• نق = 5 سم ل = 9 سم
• نق = 7 سم ل = 6 سم
• نق = 3 سم ل = 7 سم
• نق = 6.2 سم ل = 8.4 سم
• نق = 5.1 سم ل = 4.8 سم
• نق = 8.2 سم ل = 9.3 سم
4) أوجد طول القوس إذا كان
• نق = 6 سم هـ = 1.4
• نق = 9 سم هــ = 1.75
• نق = 2.6 سم هــ = 1.25
• نق = 4.3 سم هــ = 0.89
• نق = 6.1 سم هــ = 1.4
5) أوجد طول نصف قطر الدائرة إذا كان
• ل = 5 سم هـ = 2.2
• ل = 7 سم هـ = 2.4
• ل = 5.6 سم هــ = 1.1
• ل = 4.1 سم هـ = 0.67
• ل= 2.1 سم هــ = 1.5
العلاقة بين القياس الدائري والستيني :ـ
لتحويل زاوية من القياس الستيني ألي القياس الدائري والعكس يتم استخدام القانون آلاتي :ـ ـــــــــــ = ـــــــــــ حيث س ْ الزاوية بالتقدير الستيني ، هــد الزاوية بالتقدير الدائري
قياس الدائرة = 360 ْ ، محيط الدائرة = 2 طـ نق وإذا كان نق = 1 سم فأن المحيط = 2 ط حيث أن 2 طـ د = 360 ْ طـ د = 180 ْ بالقسمة علي طـ نجد أن 1د = 44 17 57 ْ
وحيث أن قانون التحويل من دائري ألي ستيني والعكس هو ــــــــــ = ـــــــــ
ومنه نجد أن :ـ
س ْ = ــــــــ × هـد ويستخدم في حالة أيجاد القياس الستيني للزاوية إذا علم القياس الدائري
مثلا أوجد القياس الستيني للزاوية التي قياسها 1.42د
الحل
س ْ = ــــــــ × هـد = ــــــــ × 1.42 = 4 24 81 ْ
هـد = ــــــــ × س ْ ويستخدم في حالة أيجاد القياس الدائري للزاوية إذا علم القياس الستيني
مثلا أوجد القياس الدائري للزاوية التي قياسها 127 ْ
الحل :ـ
هـد = ــــــــ × س ْ = ــــــــ × 127 = 2.21 د
تمرينات :ـ
1) حول الزوايا آلاتية من القياس الستيني ألي الدائري
215 ْ ، 25 19 85 ْ ، 35 67 ْ ، 11 149 ْ
2) حول الزوايا آلاتية من القياس ألدائري ألي ألستيني
1.25د ، 2.04 د ، 0.84 د ، 1.03 د
3) أوجد القيا سان الدائري والستيني للزوايا التي فيها
نق = 8 سم ، ل = 5 سم نق = 7 سم ، ل = 3.5 سم
نق = 11 سم ، ل = 6 سم نق = 4 سم ، ل = 6 سم
4) زاويتان مجموعهم بالقياس الدائري = ـــــــ د والفرق بينهما بالقياس الستيني = 30 ْ أوجد قياس كلا منهما بالقياسان الدائري و الستيني
5) مثلث النسبة بين زواياه هي 2 : 1 : 6 أوجد قياس زوايا المثلث بالتقديران الدائري والستيني
6) مثلث النسبة بين زواياه هي 5 : 6 : 7 أوجد قياس زوايا المثلث بالتقديران الدائري والستيني
7) في مثلث إذا كان قياس إحدى زواياه = 49 ْ وقياس الزاوية الثانية = 0.92 د أوجد قياس الزاوية الثالثة بالتقديري الدائري والستيني
إذا كانت الساعة الرابعة تماماً فأوجد القياسان الدائري والستيني للزاوية بين عقربي الدقائق والساعات
9) إذا كانت الساعة الثانية عشر والنصف تماماً فأوجد القياسان الدائري والستيني للزاوية بين عقربي الدقائق والساعات
10) دائرة مركزها م فإذا كان أ ، ب ، جـ Э للدائرة و كان طول القوس أ ب : طول القوس ب جـ : طول القوس جــ أ = 2 : 3 : 5 فأوجد قياس زاوية ب م جـ بالتقديران الدائري والستيني
الدوال المثلثية :ـ
أولا دائرة الوحدة :ـ هي الدائرة التي يكون
نصف قطرها يساوى الواحد الصحيح
ومن الشكل المقابل :ـ
و أ = 1 ، و ب = س ، أ ب = ص
مثلث أ ب و قائم الزاوية في ب
إذا كان ق( < أ و ب ) = هـ ْ
وفي الشكل المقابل :ـ
مثلث أ ب و قائم الزاوية في ب
إذا كان ق( < أ و ب ) = هـ ْ
الدوال المثلثية للزاوية ( أ و ب )
1) دالة الجيب
ويرمز لها بالرمز جا هـ من الالة sin
جاهـ = ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ = ص
جا هـ = ــــــــــــــــ المقلوب قتا هـ = ـــــــــــــ ( قاطع تمام الزاوية )
2) دالة جيب التمام
ويرمز لها بالرمز جتا هـ من الالة cos
جتا هـ = ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ = س
جتا هـ = ــــــــــــــــ المقلوب قا هـ = ـــــــــــــ ( قاطع الزاوية )
3) دالة الظل
ويرمز لها بالرمز ظا هـ من الالة tan
ظاهـ = ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ
ظا هـ = ــــــــــــــــ المقلوب ظتا هـ = ـــــــــــــ ( ظل تمام الزاوية )
ظا هـ = ــــــــــــــــ المقلوب ظتا هـ = ـــــــــــــ
من مثلث أ و ب القائم الزاوية في ب نجد أن نظرية فيثاغورث
( و أ )2 = ( أ ب )2 + ( ب و ) 2 أي أن ص2 + س2 = 1
ومنها نجد أن
في الشكل المقابل :ـ
الشبكة البيانية المتعامدة تقسم
المستوي ألي أربع أجزاء متساوية
نجد أن قيمة ( س) تكون موجبة في
الربع الأول والرابع
نجد أن قيمة ( ص) تكون موجبة
في الربع الأول والثاني
وحيث أن جا هـ = ص ، جتا هـ = س
فأن إشارة الدوال المثلثية في الأجزاء الأربعة تكون خاضعة لجملة
كل ـــ جبار ـــ ظالم ـــ جتــــو
1) كل :ـ كل الدوال المثلثية في الربع الأول موجبة
2) جبار :ـ كل الدوال المثلثية في الربع الثاني سالبة فيما عدا ( sin ) والمقلوب
3) ظالم :ـ كل الدوال المثلثية في الربع الثالث سالبة فيما عدا ( tan ) والمقلوب
4) جتو :ـ كل الدوال المثلثية في الربع الرابع سالبة فيما عدا ( cos ) والمقلوب
أي أن مثلا جا 50 ْ ( موجب ) ، جتا 50 ْ ( موجب ) ، ظا 50 ْ ( موجب )
جا 150 ْ ( موجب ) ، جتا 150 ْ ( سالب ) ، ظا 150 ْ ( سالب )
جا 210 ْ ( سالب ) ، جتا 210 ْ ( سالب ) ، ظا 210 ْ ( موجب )
جا 300 ْ ( سالب ) ، جتا 300 ْ ( موجب ) ، ظا 300 ْ ( سالب )
تمرينات :ـ
1) أي من الدوال آلاتية موجب وأيها سالب
جتا 942 ْ ، جا 460 ْ ، ظا 830 ْ ، قا ــ 420 ْ جا 630 ْ
ظتا ــ 410 ْ ، قتا 2.5 ط ْ ، جتا 1150 ْ ، ظتا ــ 220 ْ ، قا ــ 110ْ
2) أكمل الجمل آلاتية :ـ
• لأي زاوية جيب تمام لها يكون سالب إذا كانت في الربع ........... أو ..........
• لأي زاوية الجيب لها يكون سالب إذا كانت في الربع ........... أو ..........
• لأي زاوية الظل لها يكون موجب إذا كانت في الربع ........... أو ..........
• لأي زاوية ظل تمام لها يكون سالب إذا كانت في الربع ........... أو ..........
• لأي زاوية قاطع تمام لها يكون موجب إذا كانت في الربع ........... أو ..........
• لأي زاوية القاطع لها يكون موجب إذا كانت في الربع ........... أو ..........
• يكون جميع الدوال المثلثية موجبة في الربع ...........
• يكون جميع الدوال المثلثية سالبة فيما عدا tan )) في الربع ...........
• يكون جميع الدوال المثلثية سالبة فيما عدا ( sin ) في الربع ...........
• يكون جميع الدوال المثلثية سالبة فيما عدا ( cos) في الربع ...........
• لآي زاوية( هـ ) إذا كانت قتا هـ سالبة و ظتا هـ سالبة فأن هـ موجودة في الربع ....
• لآي زاوية( هـ ) إذا كانت قا هـ سالبة و ظا هـ سالبة فأن هـ موجودة في الربع ....
• لآي زاوية( هـ ) إذا كانت قتا هـ سالبة و قا هـ سالبة فأن هـ موجودة في الربع ....
مثال1 :ـ لأي نقطة ( س ، س) موجودة علي دائرة الوحدة فأوجد قيمة س إذا كانت النقطة تقع في الربع الأول
الحل
ص2 + س2 = 1 ، س = ص س2 + س2 = 1 2 س2 = 1
ومنها نجد أن س2 = ـــــــ س = ــــــــ النقطة هي ( ــــــ ، ــــــــ ) وهي
النقطة التي تمـــثل الزاويـــــــة 45 ْ وهي أحــــــد الزوايا التي يقال عـــــنها زوايا خاصة
مثال2 :ـ لأي نقــــــــــــطة ( س ، ـــــ ) موجودة علي دائرة الوحدة فأوجد قيمة س إذا كانت النقطة تقع في الربع الأول
الحل
ص2 + س2 = 1 ، ـــــــ + س2 = 1
ومنها نجد أن س2 = ـــــــ س = ــــــــ النقطة هي ( ــــــ ، ــــــــ ) وهي
النقطة التي تمثل الزاوية 30 ْ وهي أحد الزوايا التي يقال عنها زوايا خاصة
مثال 3:ـ لأي نقــــــــــــطة ( ـــــ ، س ) موجودة علي دائرة الوحدة فأوجد قيمة س إذا كانت النقطة تقع في الربع الأول
الحل
ص2 + س2 = 1 ، ـــــــ + س2 = 1
ومنها نجد أن س2 = ـــــــ س = ــــــــ النقطة هي ( ــــــ ، ــــــــ ) وهي
النقطة التي تمثل الزاوية 60 ْ وهي أحد الزوايا التي يقال عنها زوايا خاصة
مثال 4: ـ لأي نقطة ( ــ س ، ـــ س) موجودة علي دائرة الوحدة فأوجد قيمة س
الحل
ص2 + س2 = 1 ، س = ص س2 + س2 = 1 2 س2 = 1
ومنها نجد أن س2 = ـــــــ س = ــــــــ النقطة هي ( ــــــ ، ــــــــ ) وهي
النقطة التي تمـــثل الزاويـــــــة 225 ْ لأنها تقع في الربع الثالث حيث أن كلا من مسقطيها سالب
الدوال المثلثية للزوايا الخاصة :ـ
الزوايا الخاصة هي الزوايا التي يكون معرف لدينا قيم الدوال المثلثية الخاصة لهم ومقلوبة
ملحوظة هامة :ـ
أي نقطة في حساب مثلثات عبارة ( جتا ، جا ) ولذلك عند معرفة النقطة الخاصة بالزاوية يمكن إيجاد قيمة كل الدوال المثلثية لها ولذا فان
الزاوية النقطة
الزاوية النقطة
الزاوية النقطة
الزاوية
النقطة
30 ْ ( ــــ ، ـــــ )
60 ْ ( ــــ ، ـــــ )
45 ْ ( ــــ ، ـــــ )
صفرْ (1، صفر )
90 ْ (صفر، 1 ) 180 ْ (ــ 1، صفر ) 270 ْ (صفر، ـ 1 )
أو يمكن كتابة الزوايا الخاصة بالجدول آلاتي :ـ
الزاوية جا جتا ظا قتا قا ظتا
صفر ْ صفر 1 صفر غير معروفة
1 غير معروفة
90 ْ 1 صفر غير معروفة 1 غير معروفة صفر
180 ْ صفر ــ 1 صفر غير معروفة ــ 1 غير معروفة
270 ْ ــ 1 صفر غير معروفة ــ 1 غير معروفة صفر
30 ْ ـــــــ
ـــــــ
ــــــــ
3
3
45 ْ
60 ْ ـــــــ
ـــــــ
3 ــــــــ
ــــــ
تمرينات :ـ
1) إذا كانت < أ و ب تقع علي دائرة الوحدة في الربع الأول وتمثل بالنقطة ( س، ــــــ ) أوجد قيمة س وكذلك جميع الدوال المثلثية لهذه الزاوية و مقلوبهم
2) إذا كانت < أ و ب تقع علي دائرة الوحـــده في الربــــــع الثانــــي وتمـــــثل بالنقطة ( س، ــــــ ) أوجد قيمة س وكذلك جميع الدوال المثلثية لهذه الزاوية و مقلوبهم
3) إذا كانت < أ و ب تقع علي دائرة الوحدة في الربع الثالث وتمثل بالنقطة ( س، ــــــ ) أوجد قيمة س وكذلك جميع الدوال المثلثية لهذه الزاوية و مقلوبهم
4) إذا كانت < أ و ب تقع علي دائرة الوحدة في الربع الرابع وتمثل بالنقطة( س، ــــــ ) أوجد قيمة س وكذلك جميع الدوال المثلثية لهذه الزاوية و مقلوبهم
5) أوجد قيمة الدوال المثلثية للزوايا الآتية 30 ْ ، 60 ْ ، 45 ْ ، 750 ْ ، ـــ 300 ْ
6) بدون استخدام الآلة أوجد قيمة
• 3 ظا2 30 ْ ــ 4 جا2 45 ْ + 6 جتا 90 ْ
• 2 جا 1110 ْ + 7 ظتا 90 ْ ـــ 3 ظا2 30 ْ
• جتا 420 ْ + جا ــ 330 ْ + قتا 450 ْ
7) أثبت صحة العلاقات آلاتية :ـ
• جا 90 ْ جتا 60 ْ ــ جتا 90 ْ جا 60 ْ
• 2 جا 45 ْ جتا 45 ْ = جا 90 ْ
• جا 60 ْ جتا 30 ْ ــ جتا 60 ْ جا 30 ْ = جا ــ 330 ْ
• جتا 2 30 ْ ـــ جا 2 30 ْ = جتا 60 ْ
أوجد قيمة س إذا كان
س قا 45 ْ جتا 2 45 ْ = ظا 2 60 ْ قتا 30 ْ ظا 45 ْ
العلاقات بين الدوال المثلثية :ـ
1) في الربع الأول :ـ لأي زاوية هـ تقع في الربع الأول فأن
0 < هــ < 90 ْ & 0 < هـ < ـــــ طــ
من الصف الأول الإعدادي
نعلم أن الزاويتان المتتامتان يـــكون مجموع قياسهما = 90 ْ
ولكن نعلم أيضا أن الزوايا الخاصة هي 30 ْ ، 45 ْ ، 60 ْ حيث أن
الزاوية النقطة
الزاوية النقطة
الزاوية النقطة
30 ْ ( ــــ ، ـــــ )
60 ْ ( ــــ ، ـــــ )
45 ْ ( ــــ ، ـــــ )
وحيث أن كل نقطة في حساب مثلثات تكون عبارة عن ( جتا ، جا )
فأن جا 30 ْ = ــــــــ ، جتا 60 ْ = ـــــــ ( 30 ْ + 60 ْ = 90 ْ )
ولاحظ أن قيمتهما متساوية
فأن قا 30 ْ = ــــــــ ، قتا 60 ْ = ـــــــ ( 30 ْ + 60 ْ = 90 ْ )
ولاحظ أن قيمتهما متساوية
فأن ظا 30 ْ = ــــــــ ، ظتا 60 ْ = ـــــــ ( 30ْ + 60 ْ = 90 ْ )
ولاحظ أن قيمتهما متساوية
فأن جا 45 ْ = ــــــــ ، جتا 45 ْ = ـــــــ ( 45 ْ + 45 ْ = 90 ْ )
ولاحظ أن قيمتهما متساوية
فأن ظا 45 ْ = 1 ، ظتا 45 ْ = 1 ( 45 ْ + 45 ْ = 90 ْ )
ولاحظ أن قيمتهما متساوية
فأن قا 45 ْ = 2 ، قتا 45 ْ = 2 ( 45 ْ + 45 ْ = 90 ْ )
ولاحظ أن قيمتهما متساوية
وينطبق ذلك علي كل زاويتان مجموعهم = 90 ْ
لأي زاويتان س ، ص تقع في الربع الأول وكان
جا س = جتا ص فأن س + ص = ...... ْ
ظا س = ظتا ص فأن س + ص = ...... ْ ( وهكذا )
مثال ( 1 )
أكمل :ـ جا 20 ْ = جتا ....... قتا 34 ْ = قا ........
ظتا 15 46 ْ = ظا ........
الحل
70 ْ ، 56 ْ ، 45 43 ْ
مثال ( 2 ) أوجد قيمة س إذا كان
• جا ( 3 س ــ 25 ) = جتا ( 2 س ــ 35 )
• ظا س = ظتا ( 5س ـــ 30 )
• قا ( 180 ــ 2 س ) = قتا ( 60 ْ ــ س )
الحل
جا ( 3 س ــ 25 ) = جتا ( 2 س ــ 35 )
3 س ــ 25 + 2 س ــ 35 = 90 ْ
5 س ـــ 60 = 90 5س = 150 س = 30 ْ
الباقي بالمثل
مما سبق نجد أن العلاقة بين الزاويتان هــ ، 90 ْ ــ هــ
جا ( 90 ْ ـــ هـ ) = جتا هــ
جتا ( 90 ْ ـــ هـ ) = جا هــ
ظتا ( 90 ْ ـــ هـ ) = ظا هــ ظا ( 90 ْ ـــ هـ ) = ظتا هــ
قتا ( 90 ْ ـــ هـ ) = قا هــ قا ( 90 ْ ـــ هـ ) = قتا هــ
2) في الربع الثاني :ـ
90 ْ < هــ < 180 ْ & ـــــ طـ < هـ < طــ
ولان قيمة جيب الزاوية و مقلوبها في الربع الثاني موجبة ولكن باقي الدوال قيمتها سالبه
فتكون العلاقة بين الزاوية هــ ، 180 ْ ــ هـ كالأتي
جا ( 180 ْ ــ هــ ) = جا هـ
قتا ( 180 ْ ــ هــ ) = قتا هـ
جتا ( 180 ْ ــ هـ ) = ـــ جتا هــ قا ( 180 ْ ــ هــ ) = ــ قا هـ
ظا ( 180 ْ ــ هــ ) = ــ ظا هـ ظتا ( 180 ْ ــ هــ ) = ــ ظتا هـ
مثال :ـ
أوجد قيمة جا 150 ْ ، جتا 120 ْ ، ظا 135 ْ
الحل
جا 150 = جا ( 180 ــ 30 ) = جا 30 ْ = ــــــ ( الباقي بالمثل )
ملحوظة هامة : ـ
فلإيجاد قيمة أي دالة مثلثية في الربع الثاني يجب أولا وضعها في الوضع القياسي لها وذلك بطرح أو جمع 360 ْ حسب الزاوية ويكون الناتج دائما 120 ْ ، 135 ْ ، 150 ْ ويكون مرتبط بالزوايا الخاصة 60 ْ ، 45 ْ ، 30 ْ
ولذلك يتم وضع الزاوية علي الصورة 180 ْ ـــ .....
فمثلا
أوجد قيمة قتا 480 ْ ، قا 495 ْ ظتا 510 ْ
الحل
قا 495 ْ = قا ( 495 ـــ 360 ْ ) = قا 135 ْ = قا ( 180 ْ ــ 45 ْ ) = ــ قا 45 = ــ 2
( الباقي بالمثل )
مثال :ـ أوجد قيمة الدوال آلاتية ( الطالب )
جتا ( ــ 240 ْ ) ، ظا ( ـــ 210 ْ ) ، قتا ( ــ 585 ْ )
3) في الربع الثالث : ـ
180 ْ < هــ < 270 ْ & طـ < هـ < ــــــ طــ
ولان قيمة ظل الزاوية و مقلوبها في الربع الثالث موجبة ولكن بـــاقي الدوال قيمتها سالبه
فتكون العلاقة بين الزاوية هــ ، 180 ْ + هـ كالأتي
جا ( 180 ْ + هــ ) = ــ جا هـ
قتا ( 180 ْ + هــ ) = ـــ قتا هـ
جتا ( 180 ْ + هـ ) = ـــ جتا هــ قا ( 180 ْ + هــ ) = ــ قا هـ
ظا ( 180 ْ + هــ ) = ظا هـ ظتا ( 180 ْ + هــ ) = ظتا هـ
مثال :ـ
أوجد قيمة جا 240 ْ ، جتا 225 ْ ، ظا 210 ْ
الحل
جا 240 ْ = جا ( 180 + 60 ْ ) = ـــ جا 60 ْ = ـــ ـــــــ ( الباقي بالمثل )
ملحوظة هامة : ـ
فلإيجاد قيمة أي دالة مثلثية في الربع الثالث يجب أولا وضعها في الوضع القياسي لها وذلك بطرح أو جمع 360 ْ حسب الزاوية ويكون الناتج دائما 240 ْ ، 225 ْ ، 210 ْ ويكون مرتبط بالزوايا الخاصة 60 ْ ، 45 ْ ، 30 ْ
ولذلك يتم وضع الزاوية علي الصورة 180 ْ + .....
فمثلا
أوجد قيمة جتا 600 ْ ، ظتا ( ـــ 150 ْ ) ، قتا 585 ْ
الحل
ظتا (ــ 150 ْ ) = ظتا ( ــ 150 + 360 ْ ) = ظتا 210 ْ = ظتا ( 180 ْ + 30 ) = ظتا 30 ْ = 3 ( الباقي بالمثل )
4) في الربع الرابع: ـ
270 ْ < هــ < 360 ْ & ــــ طـ < هـ < 2 طــ
ولان قيمة جيب تمام الزاويــــــة و مقلوبها في الربــع الرابع موجبة ولكن بــــاقي الدوال قيمتها سالبه
فتكون العلاقة بين الزاوية هــ ، 360 ـــ هـ كالأتي
جا ( 360 ْ ــــ هــ ) = ــ جا هـ
قتا (360 ْ ــــ هــ) = ـــ قتا هـ
جتا (360 ْ ــــ هــ) = جتا هــ قا (360 ْ ــــ هــ) = قا هـ
ظا (360 ْ ــــ هــ) = ـــ ظا هـ ظتا (360 ْ ــــ هــ) = ـــ ظتا هـ
أو يمكن كتابتهم علي هيئة
جا ( ــ هــ) = ـــ جا هـ ، جتا ( ــ هــ) = جتا هـ ، ظا ( ــ هــ) = ـــ ظا هـ قتا ( ــ هــ) = ـــ قتا هـ ، قا ( ــ هــ) = قا هـ ، ظتا ( ــ هــ) = ــ ظتا هـ
مثال :ـ
أوجد قيمة جا 330 ْ ، جتا 300 ْ ، ظا 315 ْ
الحل
ظا 315 ْ = ظا ( 360 ْ ـــ 45 ْ ) = ـــ ظا 45 ْ = ـــ 1 ( الباقي بالمثل )
ملحوظة هامة : ـ
فلإيجاد قيمة أي دالة مثلثية في الربع الرابع يجب أولا وضعها في الوضع القياسي لها وذلك بطرح أو جمع 360 ْ حسب الزاوية ويكون الناتج دائما 300 ْ ، 330 ْ ، 315 ْ ويكون مرتبط بالزوايا الخاصة 60 ْ ، 45 ْ ، 30 ْ
ولذلك يتم وضع الزاوية علي الصورة 360 ْ ـــ .....
فمثلا
أوجد قيمة قا (ــ 390 ْ ) ، ظتا 1035 ْ ، قتا 660 ْ
الحل
قا (ــ 390 ْ ) = قا ( ــ 390 ْ + 360 ْ ) = قا ــ 30 ْ = قا 30 = ـــــــ وبأسلوب أخر
قا (ــ 390 ْ ) = قا ( ــ 390 ْ+ 360 ْ ) = قا ــ 30 ْ = قا ( ــ 30 ْ+ 360 ْ ) = قا 330 ْ = قا ( 360 ْ ـــ 30 ْ ) = قا 30 ْ = ـــــــ ( الباقي بالمثل )
تمرينات
1) أوجد قيمة ما يأتي :ـ
• جا 420 ْ ظا 330 ْ + قتا 210 ْ جتا ــ 120 ْ + جتا 270 ْ
• جتا 210 ْ جا 510 ْ ــ جا 330 ْ جتا ( ــ 330 ْ )
• جا 780 ْ جا 120 ْ + جا ( ــ 150 ْ ) جتا 240 ْ + جتا 180 ْ
• جتا 450 ْ + 2 جتا 540 ْ + 3 جتا ( ــ 90 ْ ) ـــ 4 جتا 600 ْ
• جا 510 ْ + جتا ( ــ 60 ْ ) + ظا 315 ْ + قا 25 ْ جا 65 ْ
2) أوجد قيمة ق ( < س ) إذا كان
• جا س جتا 30 ْ = ظتا 225 ْ جا 90 ْ+ جا 390 ْ
• جا ( 3 س ــ 20 ) = جتا ( 2س + 50 )
• قا ( س + 5 ) = قتا ( 3 س ـــ 35 )
• ظا ( 4 س + 5 ) = 1 ( بطريقتين مختلفتين )
• جا ( 3 س + 11 ) قا ( س + 24 ) = 1
• جا س ـــ جتا 2 س = صفر
3) بدون استخدام الآلة الحاسبة أثبت أن :ـ
جا 60 ْ جا 300 ْ ـــ جتا 120 ْ جا ( ــ 150 ْ ) = ـــ 1
4) إذا كان جا ( 2س + 15 ) = جتا ( 3س + 25 ) أوجد قيمة ( س) ثم أثبت أن
• 2 جا 3 س جتا 3 س = جا 6 س
• جتا6 س = 2 جتا2(3 س) ـــ 1
الدوال المثلية للزوايا الحادة :ـ
في الشكل المقابل
∆ أ ب جـ قائــــــــــم الزاويــــــــــة في ب
أي أن أ جـ هــــو الوتر فـأن الدوال المثلثية
< أ مــــــــــــثلا هـــــــــــــــــــــــــــــــــي
جا أ = ــــــــــــــــ = ــــــــــ ، جتا أ = ــــــــــــــــ = ــــــــــ
ظا أ = ـــــــــــــــــ = ـــــــــــ
فمثلا إذا كانت أطوال أضلاع المثلث أ ب جـ هي أ ب = 4 سم ، ب جـ = 3 سم ، أ جـ = 5 سم
فأن جا أ = ـــــــ ، جتا أ = ـــــــــ ، ظا أ = ــــــــــ ويمكن أيجاد المقلوبات منهم
ملحوظة هامة :ـ
يجب رسم المثلث في الربع الخاص به وذلك حسب المثلث كالأتي
الربع الأول الربع الثاني
0 < هـ < 90 ْ 90 ْ < هـ < 180 ْ
الربع الثالث الربع الرابع
180 ْ < هـ < 270 ْ 270 ْ < هـ < 360 ْ
أمثلة :ـ
1) إذا كان 13 جا أ = 5 حيث 90 ْ < أ < 180 ْ فأوجد جميع الدوال المثلثية للزاوية أ
الحل
من الشكل المقابل ومن نظرية فيثاغورث نجد أن
طول الضلع الناقص = 12 سم
ولأننا في الربع الثاني فأن قيمة دالة الجيب والمقلوب
تكون موجبة والباقي يكون سالب فأن
جا أ = ــــــــــ جتا أ = ــــــــــــ ظا أ = ــــــــــ
قتا أ = ــــــــــ قا أ = ــــــــــ ظتا ا = ـــــــــ
2) إذا كان 4 ظا أ + 3 = صفر حيث 270 ْ < أ < 360 ْ فأوجد جميع الدوال المثلثية للذاوية أ
الحل
من الشكل المقابل ومن نظرية فيثاغورث نجد أن
طول الضلع الناقص = 5 سم
ولأننا في الربع الرابع فأن قيمة دالة جيب التمام والمقلوب
تكون موجبة والباقي يكون سالب فأن
جا أ = ــــــــــ جتا أ = ــــــــــــ ظا أ = ــــــــــ
قتا أ = ــــــــــ قا أ = ــــــــــ ظتا ا = ـــــــــ
3) إذا كان 25 جا أ = 24 حيث 90 ْ < أ < 180 ْ ، كان 13 جتا ب + 12 = صفر حيث 180 ْ < ب < 270 ْ فأوجد قيمة الدوال المثلثية للذاوية أ ، ب وكذلك أوجد قيمة جا ( 180 ْ + ب ) + ظا ( 360 ْ ـــ أ ) ـــ جتا ( 180 ـــ أ )
الحل
25 جا أ = 24 13 جتا ب + 12 = صفر
جا أ = ــــــــــ جتا أ = ـــــــــــ
90 ْ < أ < 180 ْ 180 ْ < ب < 270 ْ
يمكن أيجاد قيم الدوال المثلثية للزاويتين أ ، ب كما سبق في الأمثلة السابقة
أم قيمة جا ( 180 ْ + ب ) + ظا ( 360 ْ ـــ أ ) ـــ جتا ( 180 ـــ أ )
= ـــ جا ب ـــ ظا أ + جتا أ (راجع علاقات الزوايا )
= .................................
تمرينات
1) إذا كـــــان 25 جتا2 س = 16 حيث 180 ْ < س < 270 ْ ، كان 5 جتا ص + 12 = صفر حيث 90 ْ < ص < 180 ْ فأوجد قيمة الدوال المثلثية للذاوية س ، ص
وكذلك أوجد قيمة
جا 450 ْ جتا ( 180 ْ ـــ س ) ظتا ( 270 ْ ـــ ص ) ـــ قتا ( س + 360 ْ) ظتا 315 ْ
2) إذا كـــــان 17 جا س = 15 حيث س أكبر زاوية موجبة، 5 جتا ص=4 حيث 180 ْ < ص < 360 ْ فأوجد قيمة الدوال المثلثية للذاوية س ، ص
وكذلك أوجد قيمة
13جتا ( 180 ْ ـــ س) ـــ 13جا ( 360 ْ ـــ س) ـــ قا ( 180+ ص) ظتا ( 90 ْ ــ ص)
3) إذا كانت ظا 2 أ = ـــــــــ حيث 180 ْ < أ < 270 ْ ، 8 قا ب ــ 17 = صفر حيث ب أكـــــــــبر زاويــــــــــــــة موجبة فأوجد قيمة
ظا ( 180 ْ ــ أ ) ÷ قتا ( 180 ْ + ب )
4) إذا كان 17 جتا أ + 15 = صفر حيث 90 ْ < أ < 180 ْ ، 7 قتا ب + 24 = صفر حيث 180 ْ < ب < 270 ْ أوجد قيمة
جا ( 90 ــ أ ) + قا ( 360 ــ ب ) ـــ ظتا ( 180ـــ ب ) + ظا ( 180 + أ )
حل المعادلات المثلثية :ـ
لحل المعادلات المثلثية يجب أيجاد قيمة الدالة المعطاة في طرف و القيمة في طرف آخر ثم تحديد قسمة الزاوية وتكون أحد الزاوية الخاصة ( 30 ْ أو 45 ْ أو 60 ْ ) وذلك بصرف النظر عن الإشارة للقيمة ثم من خلال الربع الموجودة فيه يتم تحديد القيمة الأصلية للزاوية .
أمثلة :ـ
1) أوجد قيمة الزاوية س إذا كان 2 جا س ـــ 1 = صفر حيث 0 < س < 360 ْ
الحل
2 جا س ـــ 1 = صفر جا س = ـــــــ س= 30 ْ
وحيث أن س موجودة في أي ربع فأن
قيمة دالة الجيب موجبة فأن س تقع في الربع الأول أو الثاني
س في الربع الأول = 30 ْ
س في الربع الثاني = 180 ْ ــ 30 ْ = 150 ْ
م 0 ح = { 30 ْ ، 150 ْ }
2) أوجد مجموعة الحل للمعادلة
جا2 س ـــ جا س جتا س = صفر حيث 0 < س < 360 ْ
الحل
جا2 س ـــ جا س جتا س = صفر جا س ( جا س ـــ جتا س) = صفر
ومنها أم جا س = صفر ومنها س = صفر ، 180 ْ
ولكن الفترة مفتوحة من طرفيها فأن الصفر مرفوض
أم جا س ـــ جتا س = صفر ومنها ظا س = 1 ومنها س = 45 ْ
وحيث أن س تقع في أي ربع وقيمتها موجب فأنها تقع أم في الربع الأول أو الثالث
س في الربع الأول = 45 ْ
س في الربع الثاني = 180 ْ + 45 ْ = 225 ْ
م 0 ح = { 45 ْ ، 180 ْ ، 225 ْ }
3) 2 جا 3 س ـــ جا س = صفر حيث 0 < س < 360 ْ
الحل
2 جا 3 س ـــ جا س = صفر جا س ( 2 جا 2س ـــ 1 ) = صفر
ومنها نجد أن جا س = صفر ومنها س = 180 ْ
أو 2 جا 2س ـــ 1 = صفر 2 جا 2س = 1 جا 2س = ـــــــ
جا س = ـــــــ ومنها نجد أن س = 45 ْ
إذا كانت جا موجــــــــــبة
س في الربع الأول = 45 ْ
س في الربع الثاني = 180 ْ ـــ 45 ْ = 135 ْ
إذا كانت جا سالــــبه
س في الربع الثالث = 180 ْ + 45 ْ = 225 ْ
س في الربع الثاني = 360 ْ ـــ 45 ْ = 315 ْ
م 0 ح = { 45 ْ ، 135 ْ، 180 ْ ، 225 ْ ، 315 ْ }
كيف يمكن أيجاد قيمة زاوية من الإله الحاسبة إذا علم أحد دوالها المثلثيه :ـ
إذا كان المطلوب أيجاد فقيمة الزاوية فان التعامل معا الآلة سوف يكون كآلاتي
مثلا
أوجد قيمة س إذا كان
جا س = 0.2456
الحل
نكتب علي الآلة
Shift sin 0.2456= ثم الناتج نكتب بعدة ’’’
فيعطي الزاوية بالدرجات والدقائق والثواني
ويكون الناتج هو 13 14 ْ
أوجد قيمة ( س ) في كلا من الحالات آلاتية حيث س ] 0 ، 2 طـ ]
1) جا س = 0.7864 shift sin 0.7864 =
2) جتا س = 0.3982 shift cos 0.3982 =
3) ظا س = 1.2647 shift tan 1.2647 =
4) ظتا س = 0.136 x 0.1367 shift tan
5) قا س = 1.5681 x 0.1367 shift cos
6) قتا س = 2.0136 x 0.1367 shift sin
ثم يجب تحديد الربع الموجودة فيه الزاوية حسب الإشارة فمثلا
جا س = 0.7864 shift sin 0.7864 =
ومنها نجد أن الزاوية = 51 51 ْ
ولان دالة (sin ) موجبة في الربع الأول والثاني فأن
س في الربع الأول = 51 51 ْ
س في الربع الثاني = 180 ـــ 51 51 ْ = 9 128 ْ
م 0 ح = { 51 51 ْ ، 9 128 ْ }
وهكذا في الباقي
كيف يمكن أيجاد قيمة دالة مثلثية من الإله الحاسبة إذا علم قياس الزاوية :ـ
إذا كان لدينا قيمة دالة مثلثية فيجب أولا تحديد الربع الموجودة فيه وذلك عند طريق الإشارة لها أن كانت موجبة أو سالبة وذلك حسب الدالة المعطاة
فمثلا
أوجد قيمة جا 35 46 ْ
الحل
من الآلة نجد أن sin 46 35 = 0.7142
مثال
أوجد قيمة الزوايا المثلثية آلاتية:ـ
1) جا 26 51 ْ
2) جتا 36 145
3) ظا 21 31 49 ْ
4) ظتا 45 54 67 ْ
5) قا 29 122 ْ
6) قتا 41 29 249 ْ ( حاول بنفسك )
تمرينات
أوجد مجموعة الحل للمعادلات آلاتية حيث 0 < س < 360 ْ
1) 2 جا س + 1 = صفر
2) 3 قا س ـــ 2 = صفر
3) جتا س ــــ ظا س ظتا س = صفر
4) جا ( 180ْ ـــ س ) = جتا ( س ـــ 60 ْ )
5) 2 جا س + 1 = قتا س
6) 2 جا 2 س = 3 جا س ـــ 1
أوجد قيمة س إذا كان
• جا س = 0.9875 * ظتا س = 1.3469
• قتا س = 1.6491 ( وأخيراً الله الموفق )
المثلث :ـ هو عبارة عن أصغر مضلع مكون من ثلاثة قطع مستقيمة تسمي كل واحدة منهما ( ضلع ) ويوجد فيه ثلاث زوايا
تعريف الزاوية :ـ هي عبارة عن اتحاد
شعاعان لهم نفس نقطة البداية وتكتب
الزاوية بالرأس أو بثلاث حروف مثلا
< أ ب جـ أو < جـ ب أ أو < ب
وهذا الزاوية لا يوجد فارق بين بدايتها ولا نهايتها
أو إذا لزم تحديد البداية والنهاية فأن الناتج يسمي ( زاوية موجهة )
تعريف الزاوية الموجهة :ـ
هي الزاوية التي يكون لها بداية ( شعاع ابتدائي ) ولها
نهاية ( شعاع نهائي ) ويكون لها اتجاه وتكتب علي
صورة زوج مرتب ( الشعاع الابتدائي ، الشعاع النهائي)
مثلا ( ب أ ، ب جــ ) وتكتب < أ ب جـ ويكون قياسها موجب لان اتجاهها ضد عقارب الساعة
أم إذا كان اتجاهها مع عقارب الساعة
فان قياسها يكون سالب مثلا الشكل المقابل
وتكتب ( ب جـ ، ب أ ) وتكتب < جـ ب أ
ملحوظة هامة
< جـ ب أ < أ ب جـ
معلومة هامة :ـ قياس الدائرة = 360 ْ
الوضع القياسي للزاوية الموجهة :ـ
تكون الزاوية في الوضع القياسي لها إذا كان
قياسها محصور بين صفر ْ و 360 ْ وهو الوضع الذي
ينطبق فيه الضلع الابتدائي علي محور السينات والضلع
النهائي داخل الشبكة البيانية المتعامدة ( مثل الشكل المقابل )
ملحوظة هامة :ـ
لأي زاوية لها قيا سان أحداهما موجب و الأخر سالب مثلا الزاوية التي
قياسها 60 ْ تكافئ الزاوية التي قياسها ـــ 300 ْ حيث ينطبق الضلع الابتدائي لهم وكذلك الضلع النهائي لهم ولكن الاتجاه هو الذي يكون مختلف الأولي تكون ضد عقارب الساعة و الثانية تكون مع عقارب الساعة
* لإيجاد الوضع القياسي لأي زاوية فيجب إتباع الأتي
1) إذا كان قياس الزاوية أكبر من 360 ْ فيجب طرح منها 360 ْ حتى نصل لأول رقم أقل من 360 ْ ويكون ذلك هو الوضع القياسي لها
مثلا أوجد الوضع القياسي للزوايا التي قياسها 900 ْ ، 790 ْ ، 1200 ْ ، 630 ْ
الحل
900 ْ ـــ 360 ْ = 540 ْ ـــ 360 ْ = 180 ْ
790 ْ ـــ 360 ْ = 430 ْ ـــ 360 ْ = 70 ْ
1200 ْ ــ 360 ْ = 840 ْ ـــ 360 ْ = 480 ْ ـــ 360 ْ = 120 ْ
630 ْ ـــ 360 ْ = 270
2) إذا كان قياس الزاوية عدد سالب فيجب جمع عليها 360 ْ حتى نصل لأول رقم موجب ويكون ذلك هو الوضع القياسي لها
فمثلا أوجد الوضع القياسي للزوايا التي قياسها ـــ 200 ْ ، ـــ 530 ْ ، ـــ 840 ْ
الحل
ـــ 200 ْ + 360 ْ= 160 ْ
ـــ 530 ْ + 360 ْ = ــ 170 ْ + 360 ْ = 190 ْ
ـــ 840 ْ + 360 ْ = ـــ 480 ْ + 360 ْ = ــ 120 ْ + 360 ْ = 240 ْ
ملحوظة هامة :ـ
1) تم جمع أو طرح 360 ْ علي قياس الزاوية لان قياس الدائرة = 360 ْ وهو الوضع الذي يعود فيه الضلع النهائي إلي الوضع الأول قبل الحركة
2) الزوايا التي يكون القياس لها في وضعها القياسي موحد يسمي ( زوايا متكافئة )
3) المحاور المتعامدة تقسم المستوي إلي أربع أجزاء كل جزء يسمي ( ربع )
في الشكل المقابل :ـ
الربع الأول محصور بين 0 ْ ألي 90 ْ
الربع الثاني محصور بين 90 ْ ألي 180 ْ
الربع الثالث محصور بين 180 ْ ألي 270 ْ
الربع الرابع محصور بين 270 ْ ألي 360 ْ
4) الزوايا التي قياسها يساوي صفر ْ أو 90 ْ أو 270 ْ أو 360 ْ تقع علي المحاور وليس أي ربع
أنواع قياسات الزوايا :ـ
1) قياس ستيني :ـ
وهو القياس المعتاد للزوايا ووحداته هي ( الدرجة ْ ، الدقيقة ، الثانية )
الدرجة = 60 دقيقة الدقيقة = 60 ثانية
فمثلا الزاوية التي قياسها 35 42 68 ْ تقرا 68 درجة و 42 دقيقة و 35 ثانية
وتكتب علي الآلة كالأتي : ـ
68 ,,, 42 ,,, 35 ,,, = 68 42 35
2) القياس الدائري :ـ هي الزاوية المرسوم داخل دائرة وتكون زاوية مركزيه ولذلك فأن أضلاعها تكون أنصاف أقطار ويكون محصور بينهما قوس من الدائرة وتسمي زاوية نصف قطرية
الزاوية النصف قطرية :ـ
هي الزاوية المركزية التي يكون فيها م
طول القوس المقابل لها مساوياً لطول
نصف قطر دائرتها
قياسها = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـــ = ــــــــــ حيث هـ هو قياس الزاوية ، ل هو طول القوس، نق نصف الدائرة
مثال :ـ أوجد قياس الزاوية الدائرية المقابلة لقوس طوله 8 سم ونصف قطرها 5 سم
الحل
هـــ = ــــــــــ هـــ = ــــــــ = 1.6
مثال :ـ أوجد طول القوس المقابل لزاوية مركزية 2.1 في دائرة نصف قطرها 4 سم
الحل
ل = هــ × نق = 2.1 × 4 = 8.4 سم
مثال :ــ أوجد نصف قطر الدائرة إذا كان قياس زاوية مركزية فيها = 1.5 د مقابل لقوس طوله 6 سم
الحل
نق = ــــــــ = ـــــــــ = 4 سم
تمرينات
1) أذكر الربع التي تقع فيه الزوايا التي قياسها
225 ْ ، 1500 ْ ، 1350 ْ ، 590 ْ ، ـــ 30 ْ ، ـــ 420 ْ ، ـــ 815 ْ ، ـــ 1110 ْ
2) أوجد زاوية تكافئ قياسات الزوايا الأتي :ـ
65 ْ ، 175 ْ ، 210 ْ ، 500 ْ ، ــ 100 ْ ، ـــ 630 ْ ، ـــ 740 ْ ، ـــ 45 ْ
3) أوجد القياس الدائري للزاوية إذا كان
• نق = 5 سم ل = 9 سم
• نق = 7 سم ل = 6 سم
• نق = 3 سم ل = 7 سم
• نق = 6.2 سم ل = 8.4 سم
• نق = 5.1 سم ل = 4.8 سم
• نق = 8.2 سم ل = 9.3 سم
4) أوجد طول القوس إذا كان
• نق = 6 سم هـ = 1.4
• نق = 9 سم هــ = 1.75
• نق = 2.6 سم هــ = 1.25
• نق = 4.3 سم هــ = 0.89
• نق = 6.1 سم هــ = 1.4
5) أوجد طول نصف قطر الدائرة إذا كان
• ل = 5 سم هـ = 2.2
• ل = 7 سم هـ = 2.4
• ل = 5.6 سم هــ = 1.1
• ل = 4.1 سم هـ = 0.67
• ل= 2.1 سم هــ = 1.5
العلاقة بين القياس الدائري والستيني :ـ
لتحويل زاوية من القياس الستيني ألي القياس الدائري والعكس يتم استخدام القانون آلاتي :ـ ـــــــــــ = ـــــــــــ حيث س ْ الزاوية بالتقدير الستيني ، هــد الزاوية بالتقدير الدائري
قياس الدائرة = 360 ْ ، محيط الدائرة = 2 طـ نق وإذا كان نق = 1 سم فأن المحيط = 2 ط حيث أن 2 طـ د = 360 ْ طـ د = 180 ْ بالقسمة علي طـ نجد أن 1د = 44 17 57 ْ
وحيث أن قانون التحويل من دائري ألي ستيني والعكس هو ــــــــــ = ـــــــــ
ومنه نجد أن :ـ
س ْ = ــــــــ × هـد ويستخدم في حالة أيجاد القياس الستيني للزاوية إذا علم القياس الدائري
مثلا أوجد القياس الستيني للزاوية التي قياسها 1.42د
الحل
س ْ = ــــــــ × هـد = ــــــــ × 1.42 = 4 24 81 ْ
هـد = ــــــــ × س ْ ويستخدم في حالة أيجاد القياس الدائري للزاوية إذا علم القياس الستيني
مثلا أوجد القياس الدائري للزاوية التي قياسها 127 ْ
الحل :ـ
هـد = ــــــــ × س ْ = ــــــــ × 127 = 2.21 د
تمرينات :ـ
1) حول الزوايا آلاتية من القياس الستيني ألي الدائري
215 ْ ، 25 19 85 ْ ، 35 67 ْ ، 11 149 ْ
2) حول الزوايا آلاتية من القياس ألدائري ألي ألستيني
1.25د ، 2.04 د ، 0.84 د ، 1.03 د
3) أوجد القيا سان الدائري والستيني للزوايا التي فيها
نق = 8 سم ، ل = 5 سم نق = 7 سم ، ل = 3.5 سم
نق = 11 سم ، ل = 6 سم نق = 4 سم ، ل = 6 سم
4) زاويتان مجموعهم بالقياس الدائري = ـــــــ د والفرق بينهما بالقياس الستيني = 30 ْ أوجد قياس كلا منهما بالقياسان الدائري و الستيني
5) مثلث النسبة بين زواياه هي 2 : 1 : 6 أوجد قياس زوايا المثلث بالتقديران الدائري والستيني
6) مثلث النسبة بين زواياه هي 5 : 6 : 7 أوجد قياس زوايا المثلث بالتقديران الدائري والستيني
7) في مثلث إذا كان قياس إحدى زواياه = 49 ْ وقياس الزاوية الثانية = 0.92 د أوجد قياس الزاوية الثالثة بالتقديري الدائري والستيني
إذا كانت الساعة الرابعة تماماً فأوجد القياسان الدائري والستيني للزاوية بين عقربي الدقائق والساعات 9) إذا كانت الساعة الثانية عشر والنصف تماماً فأوجد القياسان الدائري والستيني للزاوية بين عقربي الدقائق والساعات
10) دائرة مركزها م فإذا كان أ ، ب ، جـ Э للدائرة و كان طول القوس أ ب : طول القوس ب جـ : طول القوس جــ أ = 2 : 3 : 5 فأوجد قياس زاوية ب م جـ بالتقديران الدائري والستيني
الدوال المثلثية :ـ
أولا دائرة الوحدة :ـ هي الدائرة التي يكون
نصف قطرها يساوى الواحد الصحيح
ومن الشكل المقابل :ـ
و أ = 1 ، و ب = س ، أ ب = ص
مثلث أ ب و قائم الزاوية في ب
إذا كان ق( < أ و ب ) = هـ ْ
وفي الشكل المقابل :ـ
مثلث أ ب و قائم الزاوية في ب
إذا كان ق( < أ و ب ) = هـ ْ
الدوال المثلثية للزاوية ( أ و ب )
1) دالة الجيب
ويرمز لها بالرمز جا هـ من الالة sin
جاهـ = ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ = ص
جا هـ = ــــــــــــــــ المقلوب قتا هـ = ـــــــــــــ ( قاطع تمام الزاوية )
2) دالة جيب التمام
ويرمز لها بالرمز جتا هـ من الالة cos
جتا هـ = ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ = س
جتا هـ = ــــــــــــــــ المقلوب قا هـ = ـــــــــــــ ( قاطع الزاوية )
3) دالة الظل
ويرمز لها بالرمز ظا هـ من الالة tan
ظاهـ = ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ
ظا هـ = ــــــــــــــــ المقلوب ظتا هـ = ـــــــــــــ ( ظل تمام الزاوية )
ظا هـ = ــــــــــــــــ المقلوب ظتا هـ = ـــــــــــــ
من مثلث أ و ب القائم الزاوية في ب نجد أن نظرية فيثاغورث
( و أ )2 = ( أ ب )2 + ( ب و ) 2 أي أن ص2 + س2 = 1
ومنها نجد أن
في الشكل المقابل :ـ
الشبكة البيانية المتعامدة تقسم
المستوي ألي أربع أجزاء متساوية
نجد أن قيمة ( س) تكون موجبة في
الربع الأول والرابع
نجد أن قيمة ( ص) تكون موجبة
في الربع الأول والثاني
وحيث أن جا هـ = ص ، جتا هـ = س
فأن إشارة الدوال المثلثية في الأجزاء الأربعة تكون خاضعة لجملة
كل ـــ جبار ـــ ظالم ـــ جتــــو
1) كل :ـ كل الدوال المثلثية في الربع الأول موجبة
2) جبار :ـ كل الدوال المثلثية في الربع الثاني سالبة فيما عدا ( sin ) والمقلوب
3) ظالم :ـ كل الدوال المثلثية في الربع الثالث سالبة فيما عدا ( tan ) والمقلوب
4) جتو :ـ كل الدوال المثلثية في الربع الرابع سالبة فيما عدا ( cos ) والمقلوب
أي أن مثلا جا 50 ْ ( موجب ) ، جتا 50 ْ ( موجب ) ، ظا 50 ْ ( موجب )
جا 150 ْ ( موجب ) ، جتا 150 ْ ( سالب ) ، ظا 150 ْ ( سالب )
جا 210 ْ ( سالب ) ، جتا 210 ْ ( سالب ) ، ظا 210 ْ ( موجب )
جا 300 ْ ( سالب ) ، جتا 300 ْ ( موجب ) ، ظا 300 ْ ( سالب )
تمرينات :ـ
1) أي من الدوال آلاتية موجب وأيها سالب
جتا 942 ْ ، جا 460 ْ ، ظا 830 ْ ، قا ــ 420 ْ جا 630 ْ
ظتا ــ 410 ْ ، قتا 2.5 ط ْ ، جتا 1150 ْ ، ظتا ــ 220 ْ ، قا ــ 110ْ
2) أكمل الجمل آلاتية :ـ
• لأي زاوية جيب تمام لها يكون سالب إذا كانت في الربع ........... أو ..........
• لأي زاوية الجيب لها يكون سالب إذا كانت في الربع ........... أو ..........
• لأي زاوية الظل لها يكون موجب إذا كانت في الربع ........... أو ..........
• لأي زاوية ظل تمام لها يكون سالب إذا كانت في الربع ........... أو ..........
• لأي زاوية قاطع تمام لها يكون موجب إذا كانت في الربع ........... أو ..........
• لأي زاوية القاطع لها يكون موجب إذا كانت في الربع ........... أو ..........
• يكون جميع الدوال المثلثية موجبة في الربع ...........
• يكون جميع الدوال المثلثية سالبة فيما عدا tan )) في الربع ...........
• يكون جميع الدوال المثلثية سالبة فيما عدا ( sin ) في الربع ...........
• يكون جميع الدوال المثلثية سالبة فيما عدا ( cos) في الربع ...........
• لآي زاوية( هـ ) إذا كانت قتا هـ سالبة و ظتا هـ سالبة فأن هـ موجودة في الربع ....
• لآي زاوية( هـ ) إذا كانت قا هـ سالبة و ظا هـ سالبة فأن هـ موجودة في الربع ....
• لآي زاوية( هـ ) إذا كانت قتا هـ سالبة و قا هـ سالبة فأن هـ موجودة في الربع ....
مثال1 :ـ لأي نقطة ( س ، س) موجودة علي دائرة الوحدة فأوجد قيمة س إذا كانت النقطة تقع في الربع الأول
الحل
ص2 + س2 = 1 ، س = ص س2 + س2 = 1 2 س2 = 1
ومنها نجد أن س2 = ـــــــ س = ــــــــ النقطة هي ( ــــــ ، ــــــــ ) وهي
النقطة التي تمـــثل الزاويـــــــة 45 ْ وهي أحــــــد الزوايا التي يقال عـــــنها زوايا خاصة
مثال2 :ـ لأي نقــــــــــــطة ( س ، ـــــ ) موجودة علي دائرة الوحدة فأوجد قيمة س إذا كانت النقطة تقع في الربع الأول
الحل
ص2 + س2 = 1 ، ـــــــ + س2 = 1
ومنها نجد أن س2 = ـــــــ س = ــــــــ النقطة هي ( ــــــ ، ــــــــ ) وهي
النقطة التي تمثل الزاوية 30 ْ وهي أحد الزوايا التي يقال عنها زوايا خاصة
مثال 3:ـ لأي نقــــــــــــطة ( ـــــ ، س ) موجودة علي دائرة الوحدة فأوجد قيمة س إذا كانت النقطة تقع في الربع الأول
الحل
ص2 + س2 = 1 ، ـــــــ + س2 = 1
ومنها نجد أن س2 = ـــــــ س = ــــــــ النقطة هي ( ــــــ ، ــــــــ ) وهي
النقطة التي تمثل الزاوية 60 ْ وهي أحد الزوايا التي يقال عنها زوايا خاصة
مثال 4: ـ لأي نقطة ( ــ س ، ـــ س) موجودة علي دائرة الوحدة فأوجد قيمة س
الحل
ص2 + س2 = 1 ، س = ص س2 + س2 = 1 2 س2 = 1
ومنها نجد أن س2 = ـــــــ س = ــــــــ النقطة هي ( ــــــ ، ــــــــ ) وهي
النقطة التي تمـــثل الزاويـــــــة 225 ْ لأنها تقع في الربع الثالث حيث أن كلا من مسقطيها سالب
الدوال المثلثية للزوايا الخاصة :ـ
الزوايا الخاصة هي الزوايا التي يكون معرف لدينا قيم الدوال المثلثية الخاصة لهم ومقلوبة
ملحوظة هامة :ـ
أي نقطة في حساب مثلثات عبارة ( جتا ، جا ) ولذلك عند معرفة النقطة الخاصة بالزاوية يمكن إيجاد قيمة كل الدوال المثلثية لها ولذا فان
الزاوية النقطة
الزاوية النقطة
الزاوية النقطة
الزاوية
النقطة
30 ْ ( ــــ ، ـــــ )
60 ْ ( ــــ ، ـــــ )
45 ْ ( ــــ ، ـــــ )
صفرْ (1، صفر )
90 ْ (صفر، 1 ) 180 ْ (ــ 1، صفر ) 270 ْ (صفر، ـ 1 )
أو يمكن كتابة الزوايا الخاصة بالجدول آلاتي :ـ
الزاوية جا جتا ظا قتا قا ظتا
صفر ْ صفر 1 صفر غير معروفة
1 غير معروفة
90 ْ 1 صفر غير معروفة 1 غير معروفة صفر
180 ْ صفر ــ 1 صفر غير معروفة ــ 1 غير معروفة
270 ْ ــ 1 صفر غير معروفة ــ 1 غير معروفة صفر
30 ْ ـــــــ
ـــــــ
ــــــــ
3
3
45 ْ
60 ْ ـــــــ
ـــــــ
3 ــــــــ
ــــــ
تمرينات :ـ
1) إذا كانت < أ و ب تقع علي دائرة الوحدة في الربع الأول وتمثل بالنقطة ( س، ــــــ ) أوجد قيمة س وكذلك جميع الدوال المثلثية لهذه الزاوية و مقلوبهم
2) إذا كانت < أ و ب تقع علي دائرة الوحـــده في الربــــــع الثانــــي وتمـــــثل بالنقطة ( س، ــــــ ) أوجد قيمة س وكذلك جميع الدوال المثلثية لهذه الزاوية و مقلوبهم
3) إذا كانت < أ و ب تقع علي دائرة الوحدة في الربع الثالث وتمثل بالنقطة ( س، ــــــ ) أوجد قيمة س وكذلك جميع الدوال المثلثية لهذه الزاوية و مقلوبهم
4) إذا كانت < أ و ب تقع علي دائرة الوحدة في الربع الرابع وتمثل بالنقطة( س، ــــــ ) أوجد قيمة س وكذلك جميع الدوال المثلثية لهذه الزاوية و مقلوبهم
5) أوجد قيمة الدوال المثلثية للزوايا الآتية 30 ْ ، 60 ْ ، 45 ْ ، 750 ْ ، ـــ 300 ْ
6) بدون استخدام الآلة أوجد قيمة
• 3 ظا2 30 ْ ــ 4 جا2 45 ْ + 6 جتا 90 ْ
• 2 جا 1110 ْ + 7 ظتا 90 ْ ـــ 3 ظا2 30 ْ
• جتا 420 ْ + جا ــ 330 ْ + قتا 450 ْ
7) أثبت صحة العلاقات آلاتية :ـ
• جا 90 ْ جتا 60 ْ ــ جتا 90 ْ جا 60 ْ
• 2 جا 45 ْ جتا 45 ْ = جا 90 ْ
• جا 60 ْ جتا 30 ْ ــ جتا 60 ْ جا 30 ْ = جا ــ 330 ْ
• جتا 2 30 ْ ـــ جا 2 30 ْ = جتا 60 ْ
أوجد قيمة س إذا كان س قا 45 ْ جتا 2 45 ْ = ظا 2 60 ْ قتا 30 ْ ظا 45 ْ
العلاقات بين الدوال المثلثية :ـ
1) في الربع الأول :ـ لأي زاوية هـ تقع في الربع الأول فأن
0 < هــ < 90 ْ & 0 < هـ < ـــــ طــ
من الصف الأول الإعدادي
نعلم أن الزاويتان المتتامتان يـــكون مجموع قياسهما = 90 ْ
ولكن نعلم أيضا أن الزوايا الخاصة هي 30 ْ ، 45 ْ ، 60 ْ حيث أن
الزاوية النقطة
الزاوية النقطة
الزاوية النقطة
30 ْ ( ــــ ، ـــــ )
60 ْ ( ــــ ، ـــــ )
45 ْ ( ــــ ، ـــــ )
وحيث أن كل نقطة في حساب مثلثات تكون عبارة عن ( جتا ، جا )
فأن جا 30 ْ = ــــــــ ، جتا 60 ْ = ـــــــ ( 30 ْ + 60 ْ = 90 ْ )
ولاحظ أن قيمتهما متساوية
فأن قا 30 ْ = ــــــــ ، قتا 60 ْ = ـــــــ ( 30 ْ + 60 ْ = 90 ْ )
ولاحظ أن قيمتهما متساوية
فأن ظا 30 ْ = ــــــــ ، ظتا 60 ْ = ـــــــ ( 30ْ + 60 ْ = 90 ْ )
ولاحظ أن قيمتهما متساوية
فأن جا 45 ْ = ــــــــ ، جتا 45 ْ = ـــــــ ( 45 ْ + 45 ْ = 90 ْ )
ولاحظ أن قيمتهما متساوية
فأن ظا 45 ْ = 1 ، ظتا 45 ْ = 1 ( 45 ْ + 45 ْ = 90 ْ )
ولاحظ أن قيمتهما متساوية
فأن قا 45 ْ = 2 ، قتا 45 ْ = 2 ( 45 ْ + 45 ْ = 90 ْ )
ولاحظ أن قيمتهما متساوية
وينطبق ذلك علي كل زاويتان مجموعهم = 90 ْ
لأي زاويتان س ، ص تقع في الربع الأول وكان
جا س = جتا ص فأن س + ص = ...... ْ
ظا س = ظتا ص فأن س + ص = ...... ْ ( وهكذا )
مثال ( 1 )
أكمل :ـ جا 20 ْ = جتا ....... قتا 34 ْ = قا ........
ظتا 15 46 ْ = ظا ........
الحل
70 ْ ، 56 ْ ، 45 43 ْ
مثال ( 2 ) أوجد قيمة س إذا كان
• جا ( 3 س ــ 25 ) = جتا ( 2 س ــ 35 )
• ظا س = ظتا ( 5س ـــ 30 )
• قا ( 180 ــ 2 س ) = قتا ( 60 ْ ــ س )
الحل
جا ( 3 س ــ 25 ) = جتا ( 2 س ــ 35 )
3 س ــ 25 + 2 س ــ 35 = 90 ْ
5 س ـــ 60 = 90 5س = 150 س = 30 ْ
الباقي بالمثل
مما سبق نجد أن العلاقة بين الزاويتان هــ ، 90 ْ ــ هــ
جا ( 90 ْ ـــ هـ ) = جتا هــ
جتا ( 90 ْ ـــ هـ ) = جا هــ
ظتا ( 90 ْ ـــ هـ ) = ظا هــ ظا ( 90 ْ ـــ هـ ) = ظتا هــ
قتا ( 90 ْ ـــ هـ ) = قا هــ قا ( 90 ْ ـــ هـ ) = قتا هــ
2) في الربع الثاني :ـ
90 ْ < هــ < 180 ْ & ـــــ طـ < هـ < طــ
ولان قيمة جيب الزاوية و مقلوبها في الربع الثاني موجبة ولكن باقي الدوال قيمتها سالبه
فتكون العلاقة بين الزاوية هــ ، 180 ْ ــ هـ كالأتي
جا ( 180 ْ ــ هــ ) = جا هـ
قتا ( 180 ْ ــ هــ ) = قتا هـ
جتا ( 180 ْ ــ هـ ) = ـــ جتا هــ قا ( 180 ْ ــ هــ ) = ــ قا هـ
ظا ( 180 ْ ــ هــ ) = ــ ظا هـ ظتا ( 180 ْ ــ هــ ) = ــ ظتا هـ
مثال :ـ
أوجد قيمة جا 150 ْ ، جتا 120 ْ ، ظا 135 ْ
الحل
جا 150 = جا ( 180 ــ 30 ) = جا 30 ْ = ــــــ ( الباقي بالمثل )
ملحوظة هامة : ـ
فلإيجاد قيمة أي دالة مثلثية في الربع الثاني يجب أولا وضعها في الوضع القياسي لها وذلك بطرح أو جمع 360 ْ حسب الزاوية ويكون الناتج دائما 120 ْ ، 135 ْ ، 150 ْ ويكون مرتبط بالزوايا الخاصة 60 ْ ، 45 ْ ، 30 ْ
ولذلك يتم وضع الزاوية علي الصورة 180 ْ ـــ .....
فمثلا
أوجد قيمة قتا 480 ْ ، قا 495 ْ ظتا 510 ْ
الحل
قا 495 ْ = قا ( 495 ـــ 360 ْ ) = قا 135 ْ = قا ( 180 ْ ــ 45 ْ ) = ــ قا 45 = ــ 2
( الباقي بالمثل )
مثال :ـ أوجد قيمة الدوال آلاتية ( الطالب )
جتا ( ــ 240 ْ ) ، ظا ( ـــ 210 ْ ) ، قتا ( ــ 585 ْ )
3) في الربع الثالث : ـ
180 ْ < هــ < 270 ْ & طـ < هـ < ــــــ طــ
ولان قيمة ظل الزاوية و مقلوبها في الربع الثالث موجبة ولكن بـــاقي الدوال قيمتها سالبه
فتكون العلاقة بين الزاوية هــ ، 180 ْ + هـ كالأتي
جا ( 180 ْ + هــ ) = ــ جا هـ
قتا ( 180 ْ + هــ ) = ـــ قتا هـ
جتا ( 180 ْ + هـ ) = ـــ جتا هــ قا ( 180 ْ + هــ ) = ــ قا هـ
ظا ( 180 ْ + هــ ) = ظا هـ ظتا ( 180 ْ + هــ ) = ظتا هـ
مثال :ـ
أوجد قيمة جا 240 ْ ، جتا 225 ْ ، ظا 210 ْ
الحل
جا 240 ْ = جا ( 180 + 60 ْ ) = ـــ جا 60 ْ = ـــ ـــــــ ( الباقي بالمثل )
ملحوظة هامة : ـ
فلإيجاد قيمة أي دالة مثلثية في الربع الثالث يجب أولا وضعها في الوضع القياسي لها وذلك بطرح أو جمع 360 ْ حسب الزاوية ويكون الناتج دائما 240 ْ ، 225 ْ ، 210 ْ ويكون مرتبط بالزوايا الخاصة 60 ْ ، 45 ْ ، 30 ْ
ولذلك يتم وضع الزاوية علي الصورة 180 ْ + .....
فمثلا
أوجد قيمة جتا 600 ْ ، ظتا ( ـــ 150 ْ ) ، قتا 585 ْ
الحل
ظتا (ــ 150 ْ ) = ظتا ( ــ 150 + 360 ْ ) = ظتا 210 ْ = ظتا ( 180 ْ + 30 ) = ظتا 30 ْ = 3 ( الباقي بالمثل )
4) في الربع الرابع: ـ
270 ْ < هــ < 360 ْ & ــــ طـ < هـ < 2 طــ
ولان قيمة جيب تمام الزاويــــــة و مقلوبها في الربــع الرابع موجبة ولكن بــــاقي الدوال قيمتها سالبه
فتكون العلاقة بين الزاوية هــ ، 360 ـــ هـ كالأتي
جا ( 360 ْ ــــ هــ ) = ــ جا هـ
قتا (360 ْ ــــ هــ) = ـــ قتا هـ
جتا (360 ْ ــــ هــ) = جتا هــ قا (360 ْ ــــ هــ) = قا هـ
ظا (360 ْ ــــ هــ) = ـــ ظا هـ ظتا (360 ْ ــــ هــ) = ـــ ظتا هـ
أو يمكن كتابتهم علي هيئة
جا ( ــ هــ) = ـــ جا هـ ، جتا ( ــ هــ) = جتا هـ ، ظا ( ــ هــ) = ـــ ظا هـ قتا ( ــ هــ) = ـــ قتا هـ ، قا ( ــ هــ) = قا هـ ، ظتا ( ــ هــ) = ــ ظتا هـ
مثال :ـ
أوجد قيمة جا 330 ْ ، جتا 300 ْ ، ظا 315 ْ
الحل
ظا 315 ْ = ظا ( 360 ْ ـــ 45 ْ ) = ـــ ظا 45 ْ = ـــ 1 ( الباقي بالمثل )
ملحوظة هامة : ـ
فلإيجاد قيمة أي دالة مثلثية في الربع الرابع يجب أولا وضعها في الوضع القياسي لها وذلك بطرح أو جمع 360 ْ حسب الزاوية ويكون الناتج دائما 300 ْ ، 330 ْ ، 315 ْ ويكون مرتبط بالزوايا الخاصة 60 ْ ، 45 ْ ، 30 ْ
ولذلك يتم وضع الزاوية علي الصورة 360 ْ ـــ .....
فمثلا
أوجد قيمة قا (ــ 390 ْ ) ، ظتا 1035 ْ ، قتا 660 ْ
الحل
قا (ــ 390 ْ ) = قا ( ــ 390 ْ + 360 ْ ) = قا ــ 30 ْ = قا 30 = ـــــــ وبأسلوب أخر
قا (ــ 390 ْ ) = قا ( ــ 390 ْ+ 360 ْ ) = قا ــ 30 ْ = قا ( ــ 30 ْ+ 360 ْ ) = قا 330 ْ = قا ( 360 ْ ـــ 30 ْ ) = قا 30 ْ = ـــــــ ( الباقي بالمثل )
تمرينات
1) أوجد قيمة ما يأتي :ـ
• جا 420 ْ ظا 330 ْ + قتا 210 ْ جتا ــ 120 ْ + جتا 270 ْ
• جتا 210 ْ جا 510 ْ ــ جا 330 ْ جتا ( ــ 330 ْ )
• جا 780 ْ جا 120 ْ + جا ( ــ 150 ْ ) جتا 240 ْ + جتا 180 ْ
• جتا 450 ْ + 2 جتا 540 ْ + 3 جتا ( ــ 90 ْ ) ـــ 4 جتا 600 ْ
• جا 510 ْ + جتا ( ــ 60 ْ ) + ظا 315 ْ + قا 25 ْ جا 65 ْ
2) أوجد قيمة ق ( < س ) إذا كان
• جا س جتا 30 ْ = ظتا 225 ْ جا 90 ْ+ جا 390 ْ
• جا ( 3 س ــ 20 ) = جتا ( 2س + 50 )
• قا ( س + 5 ) = قتا ( 3 س ـــ 35 )
• ظا ( 4 س + 5 ) = 1 ( بطريقتين مختلفتين )
• جا ( 3 س + 11 ) قا ( س + 24 ) = 1
• جا س ـــ جتا 2 س = صفر
3) بدون استخدام الآلة الحاسبة أثبت أن :ـ
جا 60 ْ جا 300 ْ ـــ جتا 120 ْ جا ( ــ 150 ْ ) = ـــ 1
4) إذا كان جا ( 2س + 15 ) = جتا ( 3س + 25 ) أوجد قيمة ( س) ثم أثبت أن
• 2 جا 3 س جتا 3 س = جا 6 س
• جتا6 س = 2 جتا2(3 س) ـــ 1
الدوال المثلية للزوايا الحادة :ـ
في الشكل المقابل
∆ أ ب جـ قائــــــــــم الزاويــــــــــة في ب
أي أن أ جـ هــــو الوتر فـأن الدوال المثلثية
< أ مــــــــــــثلا هـــــــــــــــــــــــــــــــــي
جا أ = ــــــــــــــــ = ــــــــــ ، جتا أ = ــــــــــــــــ = ــــــــــ
ظا أ = ـــــــــــــــــ = ـــــــــــ
فمثلا إذا كانت أطوال أضلاع المثلث أ ب جـ هي أ ب = 4 سم ، ب جـ = 3 سم ، أ جـ = 5 سم
فأن جا أ = ـــــــ ، جتا أ = ـــــــــ ، ظا أ = ــــــــــ ويمكن أيجاد المقلوبات منهم
ملحوظة هامة :ـ
يجب رسم المثلث في الربع الخاص به وذلك حسب المثلث كالأتي
الربع الأول الربع الثاني
0 < هـ < 90 ْ 90 ْ < هـ < 180 ْ
الربع الثالث الربع الرابع
180 ْ < هـ < 270 ْ 270 ْ < هـ < 360 ْ
أمثلة :ـ
1) إذا كان 13 جا أ = 5 حيث 90 ْ < أ < 180 ْ فأوجد جميع الدوال المثلثية للزاوية أ
الحل
من الشكل المقابل ومن نظرية فيثاغورث نجد أن
طول الضلع الناقص = 12 سم
ولأننا في الربع الثاني فأن قيمة دالة الجيب والمقلوب
تكون موجبة والباقي يكون سالب فأن
جا أ = ــــــــــ جتا أ = ــــــــــــ ظا أ = ــــــــــ
قتا أ = ــــــــــ قا أ = ــــــــــ ظتا ا = ـــــــــ
2) إذا كان 4 ظا أ + 3 = صفر حيث 270 ْ < أ < 360 ْ فأوجد جميع الدوال المثلثية للذاوية أ
الحل
من الشكل المقابل ومن نظرية فيثاغورث نجد أن
طول الضلع الناقص = 5 سم
ولأننا في الربع الرابع فأن قيمة دالة جيب التمام والمقلوب
تكون موجبة والباقي يكون سالب فأن
جا أ = ــــــــــ جتا أ = ــــــــــــ ظا أ = ــــــــــ
قتا أ = ــــــــــ قا أ = ــــــــــ ظتا ا = ـــــــــ
3) إذا كان 25 جا أ = 24 حيث 90 ْ < أ < 180 ْ ، كان 13 جتا ب + 12 = صفر حيث 180 ْ < ب < 270 ْ فأوجد قيمة الدوال المثلثية للذاوية أ ، ب وكذلك أوجد قيمة جا ( 180 ْ + ب ) + ظا ( 360 ْ ـــ أ ) ـــ جتا ( 180 ـــ أ )
الحل
25 جا أ = 24 13 جتا ب + 12 = صفر
جا أ = ــــــــــ جتا أ = ـــــــــــ
90 ْ < أ < 180 ْ 180 ْ < ب < 270 ْ
يمكن أيجاد قيم الدوال المثلثية للزاويتين أ ، ب كما سبق في الأمثلة السابقة
أم قيمة جا ( 180 ْ + ب ) + ظا ( 360 ْ ـــ أ ) ـــ جتا ( 180 ـــ أ )
= ـــ جا ب ـــ ظا أ + جتا أ (راجع علاقات الزوايا )
= .................................
تمرينات
1) إذا كـــــان 25 جتا2 س = 16 حيث 180 ْ < س < 270 ْ ، كان 5 جتا ص + 12 = صفر حيث 90 ْ < ص < 180 ْ فأوجد قيمة الدوال المثلثية للذاوية س ، ص
وكذلك أوجد قيمة
جا 450 ْ جتا ( 180 ْ ـــ س ) ظتا ( 270 ْ ـــ ص ) ـــ قتا ( س + 360 ْ) ظتا 315 ْ
2) إذا كـــــان 17 جا س = 15 حيث س أكبر زاوية موجبة، 5 جتا ص=4 حيث 180 ْ < ص < 360 ْ فأوجد قيمة الدوال المثلثية للذاوية س ، ص
وكذلك أوجد قيمة
13جتا ( 180 ْ ـــ س) ـــ 13جا ( 360 ْ ـــ س) ـــ قا ( 180+ ص) ظتا ( 90 ْ ــ ص)
3) إذا كانت ظا 2 أ = ـــــــــ حيث 180 ْ < أ < 270 ْ ، 8 قا ب ــ 17 = صفر حيث ب أكـــــــــبر زاويــــــــــــــة موجبة فأوجد قيمة
ظا ( 180 ْ ــ أ ) ÷ قتا ( 180 ْ + ب )
4) إذا كان 17 جتا أ + 15 = صفر حيث 90 ْ < أ < 180 ْ ، 7 قتا ب + 24 = صفر حيث 180 ْ < ب < 270 ْ أوجد قيمة
جا ( 90 ــ أ ) + قا ( 360 ــ ب ) ـــ ظتا ( 180ـــ ب ) + ظا ( 180 + أ )
حل المعادلات المثلثية :ـ
لحل المعادلات المثلثية يجب أيجاد قيمة الدالة المعطاة في طرف و القيمة في طرف آخر ثم تحديد قسمة الزاوية وتكون أحد الزاوية الخاصة ( 30 ْ أو 45 ْ أو 60 ْ ) وذلك بصرف النظر عن الإشارة للقيمة ثم من خلال الربع الموجودة فيه يتم تحديد القيمة الأصلية للزاوية .
أمثلة :ـ
1) أوجد قيمة الزاوية س إذا كان 2 جا س ـــ 1 = صفر حيث 0 < س < 360 ْ
الحل
2 جا س ـــ 1 = صفر جا س = ـــــــ س= 30 ْ
وحيث أن س موجودة في أي ربع فأن
قيمة دالة الجيب موجبة فأن س تقع في الربع الأول أو الثاني
س في الربع الأول = 30 ْ
س في الربع الثاني = 180 ْ ــ 30 ْ = 150 ْ
م 0 ح = { 30 ْ ، 150 ْ }
2) أوجد مجموعة الحل للمعادلة
جا2 س ـــ جا س جتا س = صفر حيث 0 < س < 360 ْ
الحل
جا2 س ـــ جا س جتا س = صفر جا س ( جا س ـــ جتا س) = صفر
ومنها أم جا س = صفر ومنها س = صفر ، 180 ْ
ولكن الفترة مفتوحة من طرفيها فأن الصفر مرفوض
أم جا س ـــ جتا س = صفر ومنها ظا س = 1 ومنها س = 45 ْ
وحيث أن س تقع في أي ربع وقيمتها موجب فأنها تقع أم في الربع الأول أو الثالث
س في الربع الأول = 45 ْ
س في الربع الثاني = 180 ْ + 45 ْ = 225 ْ
م 0 ح = { 45 ْ ، 180 ْ ، 225 ْ }
3) 2 جا 3 س ـــ جا س = صفر حيث 0 < س < 360 ْ
الحل
2 جا 3 س ـــ جا س = صفر جا س ( 2 جا 2س ـــ 1 ) = صفر
ومنها نجد أن جا س = صفر ومنها س = 180 ْ
أو 2 جا 2س ـــ 1 = صفر 2 جا 2س = 1 جا 2س = ـــــــ
جا س = ـــــــ ومنها نجد أن س = 45 ْ
إذا كانت جا موجــــــــــبة
س في الربع الأول = 45 ْ
س في الربع الثاني = 180 ْ ـــ 45 ْ = 135 ْ
إذا كانت جا سالــــبه
س في الربع الثالث = 180 ْ + 45 ْ = 225 ْ
س في الربع الثاني = 360 ْ ـــ 45 ْ = 315 ْ
م 0 ح = { 45 ْ ، 135 ْ، 180 ْ ، 225 ْ ، 315 ْ }
كيف يمكن أيجاد قيمة زاوية من الإله الحاسبة إذا علم أحد دوالها المثلثيه :ـ
إذا كان المطلوب أيجاد فقيمة الزاوية فان التعامل معا الآلة سوف يكون كآلاتي
مثلا
أوجد قيمة س إذا كان
جا س = 0.2456
الحل
نكتب علي الآلة
Shift sin 0.2456= ثم الناتج نكتب بعدة ’’’
فيعطي الزاوية بالدرجات والدقائق والثواني
ويكون الناتج هو 13 14 ْ
أوجد قيمة ( س ) في كلا من الحالات آلاتية حيث س ] 0 ، 2 طـ ]
1) جا س = 0.7864 shift sin 0.7864 =
2) جتا س = 0.3982 shift cos 0.3982 =
3) ظا س = 1.2647 shift tan 1.2647 =
4) ظتا س = 0.136 x 0.1367 shift tan
5) قا س = 1.5681 x 0.1367 shift cos
6) قتا س = 2.0136 x 0.1367 shift sin
ثم يجب تحديد الربع الموجودة فيه الزاوية حسب الإشارة فمثلا
جا س = 0.7864 shift sin 0.7864 =
ومنها نجد أن الزاوية = 51 51 ْ
ولان دالة (sin ) موجبة في الربع الأول والثاني فأن
س في الربع الأول = 51 51 ْ
س في الربع الثاني = 180 ـــ 51 51 ْ = 9 128 ْ
م 0 ح = { 51 51 ْ ، 9 128 ْ }
وهكذا في الباقي
كيف يمكن أيجاد قيمة دالة مثلثية من الإله الحاسبة إذا علم قياس الزاوية :ـ
إذا كان لدينا قيمة دالة مثلثية فيجب أولا تحديد الربع الموجودة فيه وذلك عند طريق الإشارة لها أن كانت موجبة أو سالبة وذلك حسب الدالة المعطاة
فمثلا
أوجد قيمة جا 35 46 ْ
الحل
من الآلة نجد أن sin 46 35 = 0.7142
مثال
أوجد قيمة الزوايا المثلثية آلاتية:ـ
1) جا 26 51 ْ
2) جتا 36 145
3) ظا 21 31 49 ْ
4) ظتا 45 54 67 ْ
5) قا 29 122 ْ
6) قتا 41 29 249 ْ ( حاول بنفسك )
تمرينات
أوجد مجموعة الحل للمعادلات آلاتية حيث 0 < س < 360 ْ
1) 2 جا س + 1 = صفر
2) 3 قا س ـــ 2 = صفر
3) جتا س ــــ ظا س ظتا س = صفر
4) جا ( 180ْ ـــ س ) = جتا ( س ـــ 60 ْ )
5) 2 جا س + 1 = قتا س
6) 2 جا 2 س = 3 جا س ـــ 1
أوجد قيمة س إذا كان
• جا س = 0.9875 * ظتا س = 1.3469
• قتا س = 1.6491 ( وأخيراً الله الموفق )